100 Hot Books
(Амазон, Великобритания)
Дж. Харшаньи, Р. Зельтен Общая теория выбора равновесия в играх / Пер. с англ. Ю.М. Донца, Н.А. Зенкевича, Л.А. Петросяна, А.Е. Лукьяновой, В.В. Должикова под редакцией Н.Е. Зенкевича — СПб. : Экономическая школа, 2001. — 424 с.
1.8. Проблема неустойчивости: новое обоснование применения ситуаций равновесия в смешанных стратегиях
Чтобы проиллюстрировать проблему неустойчивости, поставленную играми, имеющими лишь равновесия в смешанных стратегиях, рассмотрим игру, представленную на рисунке 1.5.
![](../images/1_5.jpg)
Единственное равновесие в этой игре существует в смешанных стратегиях и имеет вид Е = (М, N), где М = (1/3, 2/3)
и N = (4/5, 1/5)
(т. е. равновесная стратегия М игрока 1 приписывает вероятности 1/3
и 2/3 его двум чистым стратегиям А и В соответственно, а равновесная стратегия N игрока 2 приписывает вероятности 4/5 и 1/5
его двум чистым стратегиям X и У). Чтобы облегчить анализ этой игры, мы добавим в матрицу выигрышей новую строку, соответствующую М, и новый столбец, соответствующий N (рис. 1.6).
![](../images/1_6.jpg)
Как можно видеть из расширенной матрицы выигрышей, если игрок 1 ожидает, что игрок 2 применит свою равновесную стратегию N, то игрок 1 не будет иметь реального стимула применить свою равновесную стратегию М. Это объясняется тем, что он получит одинаковый выигрыш и1 = 36 независимо от того, применит он смешанную равновесную стратегию М, либо одну из своих двух чистых стратегий А и В, либо любую смешанную
стратегию, отличную от М. Точно так же игрок 2 не будет иметь реального стимула применить свою равновесную стратегию N, даже если он ожидает, что игрок 1 применит равновесную стратегию М. Причина заключается в том, что игрок 2 получит одинаковый выигрыш и2
= 60 независимо от того, применит он свою равновесную стратегию N, одну из своих чистых стратегий X и Y, либо любую смешанную стратегию, отличную от N.
Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что ситуация равновесия Е = (М, N) (по-видимому) неустойчива: даже если она не порождает стимул для каждого из игроков не применять свою равновесную стратегию, она не порождает и стимул, который сделал бы привлекательным для него применение собственной равновесной стратегии.
Теперь будем утверждать, что неустойчивость таких ситуаций равновесия в смешанных стратегиях лишь кажущаяся. Даже если игроки обладают максимально возможной и полной информацией о матрице выигрышей в игре, у каждого игрока всегда будет оставаться некоторый неуменыпаемый минимум неопределенности относительно действительных выигрышей другого игрока. Например, даже если матрица выигрышей показывает, что связанный с парой стратегий (А, X) выигрыш игрока 2 равен Н2
(А, X) = 30, игрок 1 никогда не сможет исключить возможность того, что именно в данный момент этот выигрыш в действительности может составить 30 - ε или 30 + ε, где ε — малое положительное число. Это объясняется тем, что функция полезности для каждого лица зависит по меньшей мере от некоторых весьма малых непредсказуемых случайных изменений в силу перемен в его настроении или, быть может, из-за внезапного побуждения применить одну из своих чистых стратегий, более предпочтительную, чем другая.
Это означает, что реалистическая модель любой данной игры будет иметь не фиксированные, а случайно изменяющиеся выигрыши, при том изменения могут быть весьма малы. Математический анализ показывает, что такая игра не будет иметь ситуаций равновесия в смешанных стратегиях.4 Вернее, все ее ситуации равновесия будут в чистых стратегиях в том смысле, что ни один игрок не будет преднамеренно рандомизировать выбор между двумя своими чистыми стратегиями. Вместо этого он всегда установит, что одна из его двух чистых стратегий даст ему более высокий ожидаемый выигрыш, и именно эту стратегию он в действительности будет применять.
В то же время можно показать, что случайные изменения выигрышей двух игроков будут взаимодействовать таким образом, что игрок 1 будет считать стратегию А более выгодной, чем стратегия В, в течение почти 1/3
времени, а стратегию В более выгодной, чем стратегия А, в течение почти 2/3 времени. В результате, хотя игрок 1 может и не предпринять попытку рандомизировать, он будет применять свои две чистые стратегии почти точно с вероятностями, предписанными его равновесной стратегией М = (1/3,2/3), Кроме того, хотя игрок 2 может и не предпринять попытку рандомизировать, он будет применять свои две чистые стратегии X и У почти точно с вероятностями, предписанными его равновесной стратегией N = (4/5,1/5), (Более подробное обсуждение и математические доказательства см. [12].)
В заключение отметим, что, когда данная игра интерпретируется как игра с фиксированными выигрышами, она не дает
4 Наша теория предполагает, что случайные колебания в выигрышах определяются абсолютно непрерывным совместным распределением вероятностей.
игрокам стимулов к применению в ситуации равновесия в смешанных стратегиях своих чистых стратегий с вероятностями, предписанными их равновесными стратегиями. Однако если игра, что более реалистично, интерпретируется как игра со случайно изменяющимися выигрышами, то она дает требуемые стимулы, и поэтому исчезает проблема неустойчивости, связанная с ситуациями равновесия в смешанных стратегиях.
вернуться
Координация материалов. Экономическая школа