100 Hot Books
(Амазон, Великобритания)
Дж. Харшаньи, Р. Зельтен Общая теория выбора равновесия в играх / Пер. с англ. Ю.М. Донца, Н.А. Зенкевича, Л.А. Петросяна, А.Е. Лукьяновой, В.В. Должикова под редакцией Н.Е. Зенкевича — СПб. : Экономическая школа, 2001. — 424 с.
1.9. Проблема несовершенства
Чтобы проиллюстрировать проблему несовершенства, рассмотрим игру в развернутой форме, так как в нормальной форме зачастую неясно различие между ситуациями совершенного и несовершенного равновесия. В качестве примера рассмотрим игру в развернутой форме, показанную на рисунке 1.7.
Первый ход в этой игре делает игрок 1. Он может выбрать один из ходов, А или В. Если он выберет В, игра сразу закончится с выигрышами u1 = 0 и и2
= 2. Если он выберет А, игрок 2 также получит возможность
выбрать один из двух ходов, X или У. Если он выберет X, выигрыши будут и1 = и2
= 1; если же он выберет У, выигрыши будут u1 = и2
= -1. Нормальная форма этой игры показана на рисунке 1.8.
![](../images/1_8.jpg)
Таким образом, у игрока 1 есть две чистые стратегии: стратегия А («выбрать ход А») и стратегия В («выбрать ход Б»). У игрока 2 также есть две чистые стратегии: стратегия X («выбрать ход X, если игрок 1 выбрал А») и стратегия У («выбрать ход У, если игрок 1 выбрал А»).
Очевидно, игра имеет две ситуации равновесия в чистых стратегиях: пары стратегий Е1 = (А, X) и Е2 = (В, У). Е1
является ситуацией совершенного равновесия, а Е2
— ситуацией несовершенного равновесия, включающей иррациональные стратегии.
Стратегия У требует, чтобы игрок 2 выбрал ход У, который, несомненно, иррационален, так как дает ему и игроку 1 выигрыш u1 = и2
= -1, даже несмотря на то, что выбором хода X они оба получили бы выигрыш u1 = и2 =1. В равной мере иррациональна и стратегия В: игрок 1 должен знать, что если он выберет ход А, то игрок 2, несомненно, выберет ход X, который даст ему выигрыш и1
= 1; поэтому игрок 1 не должен выбирать ход B, который дает ему лишь u1 = 0.5.5
Почему оказывается возможным положение, когда ситуация равновесия должна включать такие иррациональные стратегии? В частности, почему ситуация равновесия может потребовать, чтобы игрок выбрал ход, подобный У, когда выбор этого хода противоречит максимизации его собственного выигрыша?
Ответ заключается в том, что ход, подобный У, уменьшает ожидаемый выигрыш игрока только тогда, когда этот ход реализуется с положительной вероятностью. Однако если эти два игрока действуют в соответствии с ситуацией равновесия Е2 = (В, У), то игрок 2 никогда не переместится в позицию, где необходимо реализовать этот иррациональный ход У. Иными словами, ход У реализуется с нулевой вероятностью и поэтому не уменьшает ожидаемый выигрыш игрока 2.
По определению, равновесная стратегия должна максимизировать ожидаемый выигрыш соответствующего игрока, если стратегии других игроков остаются неизменными. Это означает, что ни одна из равновесных стратегий не может предписывать иррациональный (не максимизирующий выигрыш) ход в любом информационном множестве, который достигается с положительной вероятностью, если все игроки применяют свои равновесные стратегии. Но равновесная стратегия может предписывать иррациональный ход игроку в любом информационном множестве, достигаемом с нулевой вероятностью. Ситуации несовершенного равновесия — это именно те ситуации равновесия, которые предписывают ход, противоречащий максимизации выигрыша в некотором
5
Е2
= (В, У) является «нежелательной» ситуацией равновесия, причем не только потому, что она несовершенна, но еще и потому, что использует нестрого доминируемую
стратегию (поскольку стратегия У нестрого доминируется стратегией X). Можно показать, что в любой игре, содержащей лишь два информационных множества, ситуация несовершенного равновесия всегда будет включать по крайней мере одну нестрого доминируемую стратегию. Но эта теорема не верна для игр, содержащих три или более информационных множества. Поэтому проблема, поставленная несовершенными равновесиями, не может быть сведена к проблеме, определяемой доминируемыми равновесиями.
информационном множестве, достигаемом с нулевой вероятностью.
Эти соображения приводят к следующему выводу. Если игра содержит достаточное число случайных ходов, то каждое информационное множество будет достигаться с некоторой положительной вероятностью независимо от применяемых игроками стратегий. Игра, обладающая этим свойством, будет содержать только ситуации совершенного равновесия. Это обстоятельство может быть использовано для формального математического определения ситуаций совершенного и несовершенного равновесия [43]. Более того, как мы увидим в главе 2, оно также может быть использовано и для исключения из игры всех ситуаций несовершенного равновесия. Чтобы убедиться в том, что решение, получаемое для каждой игры G, будет ситуацией совершенного равновесия, применим нашу теорию не к этой игре G, а к равномерно возмущенной игре в стандартной форме с полной памятью G', полученной из G.6
Интуитивно игра G' будет получена в предположении, что каждый раз, когда игрок i
захочет применить данную чистую стратегию фi он будет допускать различные «ошибки» с малыми, но положительными вероятностями. В частности, если стратегия фi. требует, чтобы он сделал ход фij в своем j-м информационном множестве, мы будем иметь малую вероятность ε > 0 осуществления другого хода
(ф’ij
≠ фij)
вместо этого. Для простоты сделаем допущение о равномерности, чтобы эта вероятность ошибки ε
6 Для каждой игры с полной памятью ее нормальная форма с агентами будет иметь в точности те же ситуации равновесия, что и исходная игра в развернутой форме (или, что равнозначно, в своей нормальной форме; см. [43]). Но в общем случае это не верно для игр с неполной памятью. В силу данного обстоятельства мы будем всегда предполагать, что любая рассматриваемая нами игра смоделирована как игра с полной памятью. Предположение не является ограничивающим, так как каждая игра с неполной памятью может быть легко преобразована в игру с полной памятью. Это объясняется тем, что любая игра с неполной памятью всегда основывается на рассмотрении некоторой команды (команд) — некоторого множества (множеств) игроков с идентичными интересами — как одного игрока (игроков) и поэтому всегда может быть преобразована в игру с полной памятью посредством рассмотрения каждого члена любой такой команды как отдельного игрока. Например, бридж иногда моделируется как игра двух лиц с неполной памятью. Но ее можно столь же легко моделировать как игру четырех лиц с полной памятью.
была одинаковой для всех игроков i
во всех информационных множествах и для всех пар альтернативных ходов фij и ф'ij, доступных в любом данном информационном множестве. В силу допущения о равномерности полученная игра G' будет называться равномерно возмущенной игрой.7
7 Мы будем придерживаться принципа, согласно которому в отсутствие доводов в пользу противного наш анализ данной игры всегда будет основываться на предположении о равномерности, а следовательно, и на игре с равномерными возмущениями. Предположение о равномерности составляет весьма полезную часть нашей теории: оно представляется вполне естественным, и к тому же во многих случаях оно существенно упрощает вычисление решения. Несмотря на это, оно не является совершенно необходимым предположением нашей теории.
Если кто-либо считает, что у него есть достаточные причины полагать, что в данной игре G
ошибки игроков будут соответствовать неравномерному распределению вероятностей, то ему остается лишь выбрать конкретное семейство неравномерных распределений вероятностей ошибок Пε, которое он сочтет уместным, и использовать эти распределения Пε для построения соответствующих неравномерно возмущенных нормальных форм с агентами Gε
игры G. В таком случае он может применить нашу теорию решения к этим играм с возмущениями Gε.
С другой стороны, если бы анализ любой игры G
основывался на таком семействе распределений вероятностей ошибок Пε, то последнее пришлось бы включить в определение этой игры G
наряду с другими определяющими характеристиками, такими как множества стратегий игроков и функции выигрыша.
Таким образом, если бы две игры имели одинаковые нормальные формы с агентами, но в силу предположения имели бы различные распределения вероятностей ошибок Пε, то их пришлось бы рассматривать как две различные игры с, возможно, различными решениями
вернуться
Координация материалов. Экономическая школа